Jest synem Adama Kurka, byłego gracza AZS PWSZ Nysy i reprezentanta Polski. Bartek rozpoczął swoją siatkarską karierę w wieku 17 lat. Jego pierwszym klubem była AZS PWSZ Nysa, gdzie przez jeden sezon na boisku grał wraz ze swoim ojcem – Adamem Kurkiem. Od 2007 roku jest Reprezentantem Polski (Mistrz Europy 2009 i olimpijczyk z Londynu oraz z Rio de Janeiro). W sezonie 2015/16 wicemistrz Polski z Asseco Resovią Rzeszów.
Jego Partnerką jest przyjmująca reprezentacji Polski i MKS Muszynianka Muszyna Anna Grejman.